Теория нелинейных волн
Прудковский П.А.

Спецкурс читается студентам кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ во 2-м семестре 4-го курса; форма отчетности - зачет. Для успешной сдачи зачета необходимо освоить основные методы исследования нелинейных волновых уравнений.

Курс "Теория нелинейных волн" состоит из двух частей. Первая фактически является продолжением математических курсов, читавшихся студентам в предыдущих семестрах, в первую очередь - теории колебаний и ММФ. В ней на примере классических нелинейных уравнений в частных производных - уравнений простых волн, Бюргерса, Кортевега - де Фриза, синус-Гордона, нелинейного уравнения Шредингера и задачи Ферми-Пасты-Улама - рассмотрены основные методы исследования нелинейных волновых уравнений, показана ограниченность возможностей современной теории нелинейных волн, дано понятие о солитонных решениях и о методе обратной задачи рассеяния. К сожалению, более последовательное изложение теории нелинейных волн требует значительно большего времени и математической подготовки, которая обычно отсутствует у студентов четвертого курса физического факультета.

Во второй части курса сделан больший акцент на физических моделях, в которых возникают нелинейные волновые уравнения - преимущественно в нелинейных акустике и оптике. Здесь акцент делается на важности роли дисперсионных соотношений при исследовании различных физических задач. В качестве примеров использован ряд линейных моделей акустики и оптики, таких как гравитационно-капиллярные волны, звук и энтропийно-вихревые волны, поляритоны, распространение электромагнитных волн в волноводах и анизотропных средах. В дополнение к ним рассматривается набор нелинейных задач, таких как возникновение гидродинамических разрывов - ударных волн и тангенциальных разрывов, распространение автоволн, генерация высших гармоник, демонстрирующих, что дисперсионные соотношения и в нелинейных случаях играют важную роль - для установления граничных условий или условий устойчивости полученных решений.
Тексты лекций:
Лекция 1. Волны. Кинематика
Лекция 2. Простые волны. Уравнение диффузии
Лекция 3. Уравнение Шредингера
Лекция 4. Уравнения синус-Гордона и КдФ
Лекция 5. Обратная задача рассеяния
Лекция 6. Волны в цепочках
Лекция 7. Гидродинамика. Звук
Лекция 8. Свойства поверхностей разрыва
Лекция 9. Автоволны. Волна переброса
Лекция 10. Электромагнитные волны. Поляритоны
Лекция 11. Волноводы. Анизотропные среды
Лекция 12. Закон дисперсии плазмон-поляритонов
Лекция 13-14. Электромагнитные волны в нелинейных средах
Лекция 15. Бистабильность и хаос в оптических системах. Оптическая турбулентность
Задачи к курсу
Вопросы к зачету или экзамену