Этот годовой факультативный курс рассчитан для студентов старших курсов и аспирантов физического факультета МГУ. Несмотря на то, что курс может быть прочитан студентам, освоившим (университетские) курсы статистической физики и квантовой механики, его структура предполагает параллельное изучение некоторых дополнительных разделов физики. К ним, прежде всего, относятся отдельные главы курсов "Квантовая электроника", "Теоретические основы квантовой радиофизики" и "Квантовая оптика", которые даются студентам 4-го и 5-го курсов кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ. Актуальная версия лекций в формате Microsoft Word doc доступна здесь.
Тексты лекций:
Лекция 1.
Лекция 2.
Лекция 3.
Лекция 4.
Лекция 5.
Лекция 6.
Лекция 7.
Лекция 8.
Лекция 9.
Лекция 10.
Лекция 11.
Лекция 12.
Лекция 13.
Лекция 14.
Лекция 15.
Лекция 16.
Лекция 17.
Лекция 18.
Лекция 19.
Лекция 20.
Лекция 21.
Желающим ознакомиться с конспектами лекций, просьба обращаться по адресу
skulik@qopt.phys.msu.su
СЕМЕСТР I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ, КЛАССИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
1.1 Что такое квантовая информация?
1.2 Закон Мура, роль квантовых эффектов. Биты и их реализация. Регистры.
Понятие машины Тьюринга. Классические вычисления. Логические операции.
Сложение по модулю 2.
1.3 Требования, предъявляемые к квантовому компьютеру. Основные проблемы на
пути к его созданию.
ЛЕКЦИЯ 2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕРМОДИНАМИКИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
2.1.Функция распределения.
Теорема Лиувилля. Микроканоническое распределение. Первое начало термодинамики.
Адиабатические процессы. Энтропия. Статистический вес. Формула Больцмана.
Второе начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы.
2.2. Информационная энтропия Шеннона. Биты, наты, триты и проч.
Связь энтропии и информации. Демон Максвелла
ЛЕКЦИЯ 3. КЛАССИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ (продолжение)
3.1. Условная энтропия. Взаимная информация. Канал связи.
3.2. Сжатие классических данных. Типичные слова. Теорема Шеннона
для незашумленного канала связи.
3.3. Двоичный симметричный канал связи. Емкость канала связи.
3.4. Коды, исправляющие ошибки. Код Хамминга. Теорема Шеннона для зашумленного канала.
3.5. Обратимые логические операции. Универсальные ЛЭ Тоффоли и Фредкина.
ЛЕКЦИЯ 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
4.1. Описание состояний в квантовой механике. Волновая функция.
Принцип суперпозиции. Чистые и смешанные состояния. Вычисление
средних величин. Матрица и оператор плотности. Свойства матрицы плотности,
ее размерность. Аналогия с классическими поляризационными состояниями.
Эволюция матрицы плотности. Времена релаксации Т1 и Т2. Понятие декогерентности.
4.2. Энтропия фон Неймана. Случаи чистых и смешанных состояний. Вычисление энтропии
фон-Неймана и Шеннона для двухуровневой системы.
ЛЕКЦИЯ 5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ (продолжение)
5.1. Энтропия фон Неймана, ее неотрицательность, максимальное значение.
Квантовая относительная энтропия. Неравенство Клейна.
5.2. Композиционные системы. Субаддитивность и вогнутость энтропии.
Энтропия смеси состояний. Совместная энтропия. Условная энтропия. Взаимная информация.
Примеры. Различие между классической и квантовой информацией.
5.3. Достижимая информация.
5.4. Теорема о запрете клонирования квантовых состояний (I). Ее связь с достижимой
информацией.
ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ. (продолжение)
6.1. Унитарные преобразования и их свойства
6.2. Теорема о запрете клонирования квантовых состояний (II). Ее связь с достижимой
информацией и различимостью состояний.
6.3. Граница и информация А.Холево. Примеры. Априорная и апостериорная энтропии.
6.4. Передача (transposition) квантовой информации. Понятие квантового канала связи.
Точность воспроизведения информации (fidelity). Теорема Б.Шумахера о кодировании
при отсутствии шума.
ЛЕКЦИЯ 7. КВАНТОВЫЕ ДВУХУРОВНЕВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ЯЧЕЙКИ - КУБИТЫ (qubits).
7.1. Представление состояния двухуровневой системы в виде суперпозиции.
Чистые и смешанные состояния, разница между ними. Оптическая реализация кубитов.
Аналогия между степенью поляризации и чистотой состояния.
7.2. Квантовые логические элементы (ЛЭ) и логические операции (ЛО).
Одно-кубитовые ЛЭ: фазовращатель, тождественное преобразование, «НЕ» и др.
Оптическая реализация ЛО Адамара – светоделитель. Последовательности одно-кубитовых
ЛЭ – интерферометры. Двух- и трех-кубитовые ЛО: CNOT и Тоффоли.
Обратимость и унитарность квантовых ЛО.
7.3. Квантовая интерференция, "неразличимость" путей переходов, квантовый стиратель.
ЛЕКЦИЯ 8. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ.
8.1. Классические вероятностные модели. Приготовление и измерение классического состояния.
Аналог смешанного состояния. Маргинальные моменты. Связь моментов и вероятностей.
8.2. Квантовые вероятностные модели. Двухуровневые системы (примеры). Опыты Штерна-Герлаха.
Прямые и косвенные измерения. Проблема моментов.
8.3. Измерительный (Борна -Дирака) и проекционный (Дирака-фон Неймана) постулаты.
8.4. Понятие квантовой томографии.
ЛЕКЦИЯ 9. КВАНТОВЫЕ (НЕКЛАССИЧЕСКИЕ) СОСТОЯНИЯ СВЕТА И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКЕ.
9.1. Роль неклассических полей в физике квантовой информации.
Определение (I) неклассического света и его недостатки.
9.2. Элементарная полуклассическая теория фотодетектирования.
Фактор Фано и параметр группировки. Супер- и субпуассоновский свет.
Одномодовый детектор.Формула Манделя. Гомодинирование. Связь распределений
энергии и комплексной амплитуды.
Квазивероятность. Распределение Глаубера-Сударшана.
9.3. Наблюдаемые признаки неклассичности света. Мера Ли.
Операциональное определение (II) неклассического света. g2 - и D -критерии.
Примеры: лазерный свет, тепловое излучение, смесь вакуумного и К-фотонного состояний.
ЛЕКЦИЯ 10. ПАРАДОКС ЭЙНШТЕЙНА - ПОДОЛЬСКОГО - РОЗЕНА И НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА.
10.1. Парадокс ЭПР в варианте Д.Бома. Антисимметричные состояния.
Их инвариантность относительно поворота базиса. Аналогия между состояниями частиц
со спином 1/2 и поляризационными состояниями света.
10.2. Неравенства Белла (и/или Клаузера-Хорна-Шимони-Хольта).
Классическая модель с двумя дихотомными переменными. Измеряемая Белла.
Модель скрытых параметров. Квантовая модель: спонтанное параметрическое рассеяние
из двух кристаллов. Роль некоммутирующих операторов.
ЛЕКЦИЯ 11*.(дополнительная) ПАРАДОКС БЕЛЛА ДЛЯ ТРЕХ НАБЛЮДАЕМЫХ.
Состояния Гринберга - Хорна - Цайлингера. Теорема Белла без неравенств.
СЕМЕСТР II.
ЛЕКЦИЯ 12. ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ, ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
12.1. Составные квантовые системы, двухкомпонентные коррелированные системы.
Роль ПС в квантовых алгоритмах. Примеры: ионы в ловушках, коррелированные
ядерные спины в молекулах, атом в оптическом резонаторе.
12.2. Определение (I) перепутанных состояний. Пример приготовления двухчастичного ПС.
Редуцированная матрица плотности компонент ПС. Состояния Белла, как частный случай ПС.
12.3. Оптическая реализация ПС. Отдельные фотоны и квадратурные компоненты поля. Спонтанное
параметрическое
рассеяние (СПР) света, волновая функция СПР, амплитуда бифотона,
корреляционные свойства.
12.4. Перепутывание по времени, временная пост-селекция. Пространственно-частотные,
поляризационно-частотные, поляризационно-угловые ПС. Амплитудная пост-селекция.
12.5. Перепутывание состояний с непрерывными переменными. Квадратурные компоненты поля.
Реализация ПС с помощью светоделителя и квадратурно-сжатых полей. ПС поляризационно-сжатых полей.
ЛЕКЦИЯ 13. МЕРЫ ПЕРЕПУТЫВАНИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ.
13.1. Понятие пебита (ebit). Кубиты и пебиты как прямые и косвенные ресурсы квантовой информации.
13.2. Чистые перепутанные состояния. Разложение Шмидта двухкомпонентной системы.
Энтропия перепутывания. Степень перепутывания. Локальные операции и классические сообщения.
13.3. Смешанные перепутанные состояния. Перепутывание создания. Пример: состояния Вернера.
13.4. Очищение перепутывания. Протоколы двустороннего и одностороннего обмена.
Дистилляция и концентрация перепутывания.
13.5. Приложение: матрица плотности немаксимально перепутанных состояний.
ЛЕКЦИЯ 14. ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ (продолжение). ПЛОТНАЯ КОДИРОВКА.
14.1. Критерий Переса-Хородецки. Сепарабельность квантовых состояний. Пример: состояния Вернера.
Свободное и граничное перепутывание.
14.2. Состояния Белла. Их преобразования при смене базиса. Инварианты.
14.3. Перепутывание – как информационный ресурс.
14.4. Идея плотной кодировки. Унилатеральные вращения. Протокол Ч.Беннета и С.Визнера.
Различие между плотной кодировкой и прямой передачей классических битов с помощью двух частиц.
14.5. Эксперимент группы А.Цайлингера по плотной кодировке с использованием двухчастичных
поляризационно-угловых перепутанных состояний.
ЛЕКЦИЯ 15. КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ КУБИТОВ.
15.1. Копирование и передача квантовых состояний. Протокол квантовой телепортации.
Требования, предъявляемые к нему: не нарушение теоремы о запрете клонирования;
наличие неизвестного входного состояния; идентичность выходного состояния входному;
отсутствие сверхсветовых сигналов; полное измерение оператора Белла.
15.2. Обзор некоторых экспериментальных результатов по квантовой телепортации.
Эксперименты группы А.Цайлингера; группы Ф.де-Мартини; группы Дж.Кимбла.
15.3. Полное измерение состояний Белла. Эксперимент группы Я.Ши.
15.4. "No-Go" - теорема. Ее доказательство по Л.Вайдману.
Телепортация при наличии взаимодействия между квантовыми системами.
Операция "CNOT" как пример таких взаимодействий.
15.5. Телепортация состояний, описываемых непрерывными переменными (дополн.)
ЛЕКЦИЯ 16. КЛАССИЧЕСКАЯ КРИПТОГРАФИЯ.
16.1. Криптология, криптография и криптоанализ. Основные задачи криптографии.
Понятия открытого текста, криптограммы, ключа и криптосистемы.
Принцип Керкхгоффа. Приложения криптографии.
16.2. Вычислительно сложные задачи. Односторонние функции. Пример: электронная жеребьевка.
16.3. Понятия криптографического протокола и криптографического алгоритма.
Корректность и полнота протокола.
16.4. Криптоанализ и основные виды атак. Подслушиватели (нарушители).
Активный и пассивный, внутренний и внешний подслушиватели.
16.5. Стеганография и ее задачи.
16.6. Типы секретности сообщений (по Шеннону). Безусловно и условно стойкие шифры.
Пример: код Вернама (одноразовый блокнот).
16.7. Распределение ключей. Генерация ключей, их хранение и уничтожение.
16.8. Одноключевые (симметричные) методы шифрования. Рассеивание и перемешивание.
Понятие о криптосистемах DES и ГОСТ 28147-89, их достоинства и недостатки.
Основные проблемы симметричных протоколов. Аутентификация секретного ключа. Атаки раздельных миров.
16.9. Двухключевые (асимметричные) методы шифрования.
Механизм распределения ключей по открытому каналу по У.Диффи и М.Хеллману.
Понятие о криптосистемах RSA и Эль-Гамаля. Электронная подпись.
ЛЕКЦИЯ 17. КВАНТОВАЯ КРИПТОГРАФИЯ
17.1. Проблема распределения ключа в классической криптографии и пути ее решения.
17.2. Физические основы квантового распределения ключа (КРК): теорема о запрете
копирования и неразличимость неортогональных состояний. Общая схема протокола КРК.
17.3. Основные свойства поляризованных фотонов. Некоторые сведения
из теории квантовых измерений. Сопряженные базисы. Три сопряженных базиса
для поляризованных фотонов.
17.4. Протокол ВВ84. Сырой и просеянный ключ. Коррекция ошибок
и усиление секретности - на примере протокола BB84.
Подслушивание в протоколе ВВ84. Стратегия перехватчик-ретранслятор.
Стратегия "задержанного выбора". Активный подслушиватель и схема аутентификации
Вегмана-Картера. Недостатки протокола ВВ84.
17.5. Протокол ВВ92. Его преимущества и недостатки по сравнению с ВВ84.
ЛЕКЦИЯ 18. КВАНТОВАЯ КРИПТОГРАФИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ).
18.1. Как приготовить квантовые состояния. Ослабленные лазерные импульсы.
Оценка однофотонного состояния при ослаблении импульса когерентного поля.
Двухфотонные импульсы.
18.2. Способы кодирования квантовых состояний.
18.2.1. Кодирование поляризации. Оптические волокна, сохраняющие поляризацию.
18.2.2. Фазовая кодировка. Фарадеевское зеркало. Ротатор. Циркулятор. Система "Plug&Play".
18.2.3. Кодирование по частоте.
18.3. Протокол А.Экерта (ЭПР-протокол)
18.4. Подслушивание в квантовой криптографии. Суть проблемы. Безусловная и практическая стойкость.
18.4.1. Индивидуальные (некогерентные) атаки. Стратегия передатчик-ретранслятор.
Стратегия «промежуточного базиса». Симметричные индивидуальные атаки.
Оценка максимальной взаимной информации Алиса и Боба, Алисы и Евы
при односторонних сообщениях. Критерий стойкости для протокола ВВ84.
18.4.2. Когерентные атаки. Коллективные атаки.
18.4.3. Атаки класса «Троянский конь».
18.4.4. Атаки с помощью светоделителя.
ЛЕКЦИЯ 19. КВАНТОВЫЕ АЛГОРИТМЫ
19.1. В чем проблема?
19.2. Компьютерное моделирование физических процессов. Дискретизация.
Ограничение, накладываемое на классический компьютер. Полиномиальный класс задач Р.
19.3. Моделирование времени. Алгоритм клеточного автомата.
19.4. Моделирование вероятности. Экспоненциальный рост объема вычислительного устройства.
Класс задач NP.
19.5. Элементарные логические операции над кубитами. Унитарность. Формализм операторов
рождения и уничтожения.
19.6. Моделирование квантовых эффектов. Квантовый компьютер и построение его гамильтониана.
Эволюция состояния Квантового компьютера. Программный счетчик (курсор)
19.7. Недостатки К. компьютера и необратимые потери энергии.
19.8. Квантовый регистр. Случай N кубитов.
ЛЕКЦИЯ 20. КВАНТОВЫЕ АЛГОРИТМЫ (продолжение)
20.1. Примеры ЛЭ и соответствующих матриц, используемых для квантовых вычислений.
20.2. Квантовое преобразование Фурье.
20.3. Квантовые алгоритмы:
20.3.1. Алгоритм Саймона или задача "Оракула";
20.3.2. Алгоритм разложения на простые множители или алгоритм Шора; дискретное логарифмирование.
20.3.3. Алгоритм поиска в базе данных или "алгоритм Гровера"
ЛЕКЦИЯ 21. ХОЛОДНЫЕ ИОНЫ В ЛОВУШКАХ.
21.1. Основные положения, лежащие в основе метода П.Цоллера и Дж.Цирака:
кубит, представлен двухуровневым ионом;
уровни - долгоживущие; к каждому иону имеется доступ в виде сфокусированного излучения;
ионы локализованы в ловушке - их движение ограничено;
кулоновское отталкивание обуславливает коллективное движение ионов;
имеются вспомогательные уровни и лазеры для чтения данных.
21.2. Формула Раби для переходов в классическом поле. Модель Джейнса-Каммингса и предел Лэмба-Дике.
21.3. Схема уровней в модели квантовых вычислений Цирака и Цоллера. Доступ посредством оптических и рамановских переходов.
21.4. Модельный гамильтониан и мода центра масс. Случай точного резонанса. Воздействие p/2-, p-, и 2p-импульсов.
21.5. Реализация ЛЭ CNOT.
21.6. Чтение состояния регистра ионов.
готовятся разделы:
I. Ядерный магнитный резонанс; ансамблевое описание, перепутывание и смешанные состояния.
II. Твердотельные модели и модельные устройства на наноструктурах.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Д.Ландау, И.Лифшиц. Статистическая физика. Часть 1. Наука, М 1976.
2. М.А.Леонтович. Введение в термодинамику. Статистическая физика. Москва, Наука, 1983. - 416с.
3. M.A.Nielsen, I.L.Chuang, Quantum Information and Quantum Computation. Cambridge University Press, 2001.
4. Б.Б.Кадомцев. Динамика и информация. УФН, 164, №5, 449 (1994).
5. A.Steane, Quantum Computing. Quant-ph/9708022
6. А.С.Холево. Введение в квантовую теорию информации. Москва, 2002. МЦНМО, 2002. - 228 с.
7. К.А.Валиев, А.А.Кокин Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 352 с.
8. Д.Н.Клышко. Физические основы квантовой электроники. Москва, Наука, 1986, 293с.
9. Д.Бом. Квантовая теория
10. Benjamin Schumacher Quantum coding. Phys.Rev.A, 51, №4, 2738 - 2747 (1995).
11. Д.Н.Клышко Основные понятия квантовой физики с операциональной точки зрения. УФН, 168, №9, 975-1016 (1998).
12. Д.Н.Клышко. Неклассический свет. УФН, т.166, №6, 613-638 (1996).
13. Д.Н.Клышко. Квантовая оптика: квантовые, классические и метафизические аспекты. УФН, т.164, № 11, 1187-1214 (1994).
14. Ch.Bennett, H.Bernstein, S.Popescu, B.Shumacher. Concentration partial entanglement by local operations. Phys.Rev.A, 53, 2046 (1996).
15. Ch.Bennett, D.DiVincenzo, J.Smolin, W.Wooters. Mixed-State entanglement and quantum error correction. Phys.Rev. A,54, 3824 (1996).
16. A.Peres. Separability Cryterion for Density Matrices. Phys.Rev.Lett. 77, 1413 (1996).
17. Michal Horodecki, Pavel Horodecki, Ryszard Horodecki. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. Ph/9605038.
18. Michal Horodecki, Pavel Horodecki, Ryszard Horodecki. Mixed-state entanglement and distillation: is there a "bound" entanglement in nature?
19. R.T.Thew, W.Munro. Entanglement manipulation and concentration. Phys.Rev.A, 63, 030302 (2001).
20. A.G.White, D.F.V.James, P.H.Eberhard, and P.G.Kwiat, Non-maximally Entangled States: Production, Characterization and Utilization. LANL e-print quant-ph 99088081.
21. Ch.H.Bennet, S.J.Wiesner. Communication via One- and Two-Particle Operators on Einstein-Podolsky-Rosen States. Phys.Rev.Lett., 69, 2881 (1992).
22. K.Mattle, H.Weinfurter, P.Kwiat, and A.Zeilinger. Dense Coding in Experimental Quantum Communication. Phys.Rev.Lett., 76, 4656 (1996).
23. Ch.Bennet. Quantum Information and Computation. Physics Today, October 24 (1995).
24. Сh.Bennet, G.Brassard, C.Crepeau, R.Jozsa, A.Peres, and W.Wooters, Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky –Rosen Channels. Phys.Rev.Lett., 70, 1895-1899 (1993).
25. N.Lutkenhaus, J.Calsamglia, and K.-A.Suominen. Bell measurements for teleportation. Phys.Rev.,A, 59, 3295 (1999).
26. L.Vaidman and N.Yordan. Methods for reliable teleportation.
27. D.Bouwmeester, J-W.Pan, K.Mattle, M.Eibl, H.Weinfurter, and A.Zeilinger, Experimental Quantum Teleportation. Nature, 390, 575-579 (1998).
28. D.Boschi, S.Branca, F.De Martini, L.Hardy, and S.Popesku, Experimental realization of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels. Phys.Rev Lett., 80, №6, 1121-1125 (1998).
29. A.Furasawa, J.L.Sorensen, S.L.Braunstein, C.A.Fuchs, H.J.Kimble, E.S.Polzik, Unconditional Quantum Teleportation. Science, 282, 706-709 (1998).
30. Y.Kim, S.P.Kulik, Y.Shih, Quantum Teleportation with a Complete Bell State Measurement. Phys. Rev.Lett., 86, № 7 1370-1373, 2001.
31. Ch.Bennet, G.Brassard, Quantum Cryptography: Public Key Distribution and Coin Tossing. Int. Conf.on Computers, Systems & Signal Processing, Bangalore, India December 10-12, (1984).
32. S. Wiesner, SIGACT News 15, 78 (1983); original manuscript written circa 1970.
33. Ch.H. Bennett, Phys. Rev. Lett. 68, 3121 (1992).
34. Ch.H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail, and J. Smolin, "Experimental quantum cryptography," J. Cryptology 5, 3 (1992). A.Ekert,
35. N.Gisin. Quantum Cryptography. Quant-ph/0101098.
36. C.A.Fuchs, N.Gisin, R.B.Griffiths, C.-S.Niu, and A.Peres. "Optimal Eavesdropping in Quantum Cryptography. I". Phys.Rev.A. 56, 1163-1172 (1997).
37. R.Feynman. Simulating physics with computers, Internat. J. Theoret. Phys. 21, 467-488 (1982).
38. R.Feynman. Quantum mechanical computers, Found.Phys. 16, 507-531(1986).
39. P.Shor. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on Quantum Computer. Quant-ph/9508027.
40. P.Shor. Introduction to Quantum Algorithms. Quant-ph/000503.
41. J.Сirac and P.Zoller. Quantum Computations with Cold Trapped Ions. Phys.Rev.Lett. 74, 4091 (1995).
42. П.В.Елютин. Теоретические основы квантовой радиофизики. Изд-во МГУ, 1982.
43. Д.Боумейстер, А.Экерт, А.Цайлингер. Физика квантовой информации. Москва, "Постмаркет", 2002. - 376 с.
44. M.Rubin, Lectures on Quantum Computations. UMBS, 1999 (unpublished).
45. D.Mayers, A.Yao, Unconditional Security in Quantum Cryptography, quant-ph/9802025.
46. E.Biham, M.Boyer, P.O.Boykin, T.Mor, V.Roychowdhury, A Proof of the Security of Quantum Key Distribution, quant-ph/9912053.
47. P.W.Shor, J.Preskill, Simple Proof of Security of the BB84 Quantum Key Distribution Protocol, quant-ph/0003004.
48. В.Н.Горбачев, А.И.Жилиба Физические основы современных информационных процессов. Ст.-Петербург, Издательство "Петербургский институт печати", 2004.