7.02.2023 Лекция 1 

 1. Введение

          1.1 Предмет квантовой оптики

          1.2 История и предыстория         

     Тема I. Квантование электромагнитного поля

 1. Общий подход к квантованию электромагнитного поля.

1.1 Различие подходов в релятивистской и нерелятивистской теории

• Канонические переменные. Время.
• Функции Гамильтона и Лагранжа

1.2 Гамильтонов формализм

• Уравнения, описывающие динамику канонических переменных в механике
• Скобки Пуассона и динамика произвольных функций от канонических переменных 
• Специфика применения Гамильтонова формализма к непрерывным полевым переменным  

• Основные этапы квантования: замена канонических переменных и их функций операторами, постулирование статистического характера результатов измерения,

введение функций состояния системы для описания статистики результатов измерения

2. Введение операторов для описания электромагнитного поля

2.1 Определение канонических переменных для поля: Переход к дискретным полевым переменным через разложение в ряд по системе собственных функций соответствующей краевой задачи. «Ящик квантования», моды поля.

2.2 Выбор оптимальных линейных комбинаций амплитуд поля в модах в качестве канонических переменных. Комплексная переменная а_k. Обобщенные координата и импульс, квадратуры одномодового поля.

 

14.02.2023 Лекция 2 

2.3 Выражения в канонических переменных для напряженности поля, векторного потенциала, аналитического сигнала, энергии поля; в вакууме и в прозрачной среде.

2.4 Переход от канонических переменных и их функций к операторам. Определение коммутационных соотношений через скобки Пуассона. Симметризация. Нормально- и антинормально-упорядоченные операторы. Представления Шредингера и Гейзенберга. Спектральная яркость и факториальные моменты.

 3. Введение функции состояния системы для описания статистики результатов измерения. Элементы теории представлений.

3.1 Состояния квантовой системы в обозначениях Дирака

• состояние системы как вектор абстрактного векторного пространства
• разложение вектора состояния по различным базисным системам координат;
• представления волновой функции
• «бра» и «кэт» векторы, норма вектора
• свойства базисов: полнота,  ортонормированность

3.2  Операторы в обозначениях Дирака

• определение действия на правые и левые вектора
• тензор-диада
• разложение операторов по диадам полного базиса
• оператор проектирования одного состояния на другое
• собственные вектора и собственные значения операторов
• эрмитово сопряженные операторы
• определение эрмитова оператора

3.3. Распределение вероятности наблюдения физической величины в системе с заданным состоянием

• через оператор проектирования
• через оператор плотности
• средние значения наблюдаемых величин

 

21.02.2023 Лекция 3 

 Тема II. Основные типы состояний поля

Энергетические состояния

 1.      Состояния с заданным числом фотонов (энергетические)

1.1 Определение: собственные состояния оператора энергии для одной моды свободного поля и оператора числа фотонов в моде N=a⁺a

1.2 Свойства базиса, образованного из энергетических состояний

1.3 Вакуумное состояние

1.4 Действие операторов a и a⁺ на N-состояния

1.5 Оператор, описывающий получение N-состояний из вакуума

1.6 Временная эволюция энергетических состояний

1.7 Разложение произвольных состояний поля по энергетическому базису

1.8 Энергетические состояния на практике. Проблема получения состояний с заданным числом фотонов.

1.9 Энергетические состояния многомодового поля

Когерентные состояния

  2. Когерентные состояния

2.1 Общие свойства

• Определение: правые и левые собственные состояния операторов a и a⁺ для одной моды поля
• Собственные значения: комплексны, образуют непрерывный спектр
• Среднее число фотонов в энергетическом состоянии
• Средние от нормально упорядоченных операторов в когерентном состоянии
• Факторизация нормально-упорядоченных моментов числа фотонов

 2.2  Получение когерентных состояний из вакуума.

 2.3     Связь когерентного и энергетического базисов

• Представление когерентных состояний в энергетическом базисе и наоборот
• Распределение числа фотонов в когерентном состоянии

 

28.02.2023 Лекция 4

 2.4     Cвойства базиса, образуемого когерентными состояниями

• нормировка
• неортогональность
• доказательство полноты
• следствия «переполненности» базиса

2.5     Временная эволюция когерентного состояния

2.6    Многомодовое поле в когерентном состоянии

• Собственные состояния оператора аналитического сигнала
• Средние значения для оператора напряженности электрического поля
• Факторизация корреляционных функций

Собственные состояния операторов квадратур (обобщенных координаты и импульса)

 3. Операторы обобщенных координаты и импульса и их собственные состояния

3.1.         Собственные значения и собственные состояния. Квадратуры поля. Свойства координатного и импульсного базисов:

• полнота
• непрерывность
• ортогональность
• нормировка

3.2.         Представление состояния с заданным импульсом  в координатном базисе и представление состояния с заданной обобщенной координатой  в импульсном базисе

3.3.         Схематическое представление на диаграмме состояний

 

7.03.2023 Лекция 5

 4. Связь координатного и импульсного базисов с когерентным

    4.1.    Средние значения квадратур поля в когерентном состоянии

    4.2.*     Волновые функции когерентных состояний в координатном и импульсном базисах

    4.3     Статистическое распределение квдратур поля в когерентном состоянии

    4.4  Дисперсии квадратур поля в когерентном состоянии. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

5. Схематическое изображение состояний на фазовой плоскости.

    5.1 Схематическое изображение когерентных состояний

    5.2 Схематическое изображение энергетических состояний

6. Сжатые состояния одномодового излучения

    6.3    Соотношение дисперсий координаты и импульса в произвольном состоянии одномодового поля.

    6.4 Эволюция дисперсий во времени

    6.5  Квадратурно-сжатый свет, сжатие по амплитуде, по фазе. Сжатый вакуум.

    6.6 Математическое описание

    6.7 Способы генерации и детектирования

 

14.03.2023 Лекция 6

7. Поляризационные и поляризационно-перепутанные состояния  

            7.1 Введение: описание состояний поляризации излучения в классической оптике

            7.2 Переход от векторов поляризации к векторам состояния на примере поляризационного кубита

            7.3 Операторы Стокса и наблюдаемые параметры

 

21.03.2023 Лекция 7

7.4 Измерение параметров Стокса и поляризации однофотонного состояния

7.5 Когерентные состояния в двух ортогонально поляризованных модах

7.6 Обобщенные когерентные состояния: фоковские состояния в двух ортогонально поляризованных модах

7.7 Поляризационно-перепутанный двухфотонный свет, генерируемый при спонтанном параметрическом рассеянии света

7.8 Состояния Белла

Смешанные состояния

 8.     Смешанные состояния

8.1         Определение чистого и смешанного состояний.  Задание функции распределения и средних значений наблюдаемых величин через оператор плотности

 

28.03.2023 Лекция 8

8.2.      Представления оператора плотности

• Разложение по когерентному и энергетическому базису – Р-представление и матрица плотности
• Эрмитовость и связанные с этим свойства Р-представления и матрицы плотности
• Нормировка
• Выражения для средних значений наблюдаемых величин через матрицу плотности и через Р-представление

8.3      Смешанное состояние многомодового поля

• Квазивероятность и матрица плотности
• Корреляционные моменты
• Случай статистически независимых мод

8.4     Стационарные смешанные состояния

• диагональность матрицы плотности
• особенности Р-представления
• характер зависимости корреляционных моментов от времени
• понятие населенности моды
• спектральная яркость стационарного состояния с независимыми модами

 8.5      Излучение с планковским распределением фотонов в моде

• равновесное тепловое излучение
• излучение, хаотически возбуждаемое независимыми источниками

 

04.04.2023 Лекция 9

• распределение квазивероятности
• неопределенность обобщенной координаты и импульса
• многомодовое хаотическое поле

 8.6     Другие примеры смешанных состояний одномодового поля

• смесь когерентных состояний с одинаковыми амплитудами и случайными фазами
• k-фотонное смешанное состояние

   

Тема III. Способы описания квантовых состояний полей без использования волновых функций

 

1.     Представление Глаубера-Сударшана и его свойства

1.1.         отличие квазивероятности от классической вероятности

1.2.         связь вероятностей наблюдения физической величины в смешанном и когерентных состояниях

1.3.         вычисление средних от нормально-упорядоченных операторов,

вычисление факториальных моментов числа фотонов

2.         Нормальная характеристическая функция

• общее определение
• в случае теплового поля
• для смеси независимых полей

3.         Сглаживающие процедуры

• преобразование характеристической функции при смешивании поля с тепловым излучением
• симметризованная характеристическая функция – Фурье-образ функции Вигнера
• антинормальная  характеристическая функция

4.     Признаки неклассичности световых полей

4.1.         Мера Ли

4.2.         Операциональное определение

4.3.         Сжатие квадратур

 

Тема IV. Статистика фотонов и фотоэлектронных импульсов

1. Квантовая теория детектирования

1.1  показания однофотонного детектора

1.2 корпускулярно-волновой дуализм и роль однофотонных состояний света

 

18.04.2023 Лекция 10

1.3 корреляция показаний М детекторов, расположенных в разных точках пространства – аналогия с одновременной ионизацией М атомов

1.4 необходимость введения нормально и анти-нормально упорядоченных операторов

2.      Статистика фотонов: общие соотношения

            2.1.         производящая функция

            2.2.         вычисление нормальных моментов и распределения числа фотонов по известной производящей функции

            2.3.         z-представление распределения числа фотонов

            2.4.         выражение для распределения числа фотонов через нормальные моменты числа фотонов

            2.5.         Производящие функции, нормальные моменты, распределение числа фотонов в случаях

• когерентного поля
• одномодового хаотического поля
• многомодового хаотического поля
• смешанного k-фотонного состояния одномодового поля
• излучения смешанного k-фотонного света ансамблем атомов

            2.6   Таблица: основные типы распределений чисел фотонов и энергии одномодового и многомодового поля в квантовой и классической теории 

 

25.04.2023 Лекция 11

3. Группировка и антигруппировка фотонов

3.1 флуктуации числа фотонов (энергии) в моде когерентного  излучения при классическом и квантовом рассмотрении; роль когерентного  излучения при классификации полей по шумовым характеристикам

3.2 нормированный второй факториальный момент g⁽²⁾ как параметр группировки

3.3 Измерение параметра группировки с помощью интерферометра Брауна-Твисса

•  измерение g⁽²⁾ с помощью двух детекторов в схеме Брауна-Твисса
• зависимость параметра группировки g⁽²⁾ от среднего числа фотонов для когерентного, теплового и смешанного k-фотонного света

3.4 Примеры практического использования состояний света с группировкой и антигруппировкой фотонов

3.3 Измерение сверхгруппировки фотонов в двух различных модах излучения при параметрическом рассеянии света

 4. Статистика фотоотсчетов одномодового детектора

   4.1 точечный детектор поля в квантовом рассмотрении

    4.2 распределение фотоотсчетов при регистрации поля в энергетическом состоянии

    4.3 статистика фотоотсчетов при регистрации поля с произвольной статистикой фотонов

    4.4 формула Скалли-Манделя

    4.5 статистика фотоотсчетов при регистрации света с пуассоновской и тепловой статистикой

    4.6 статистика фотоотсчетов при регистрации света с пуассоновской и тепловой статистикой

    4.7 связь параметров статистики фотоотсчетов и фотонов

• связь факториальных моментов
• дисперсия числа фотоотсчетов в зависимости от дисперсии числа фотонов
• параметры группировки фотонов и фотоотсчетов

5. Статистика фотоотсчетов многомодового детектора

            5.1  производящая функция

            5.2 дисперсия числа фотоотсчетов

 

2.05.2023 Лекция 12

Тема V.  Спонтанное параметрическое рассеяние света

 

1. Общее описание явления ПР. Пространственный и временной синхронизм.

2. Энергия возмущения и эффективный гамильтониан

1. Общий подход к описанию преобразования частот в классической нелинейной оптике
2. Эффективный гамильтониан для расчетов в первом порядке теории возмущения.
3. Расчет скорости генерации бифотонов при СПР.

 3. Режимы параметрического рассеяния: слабое и высокое усиление

4.  Вектор состояния и волновая функция бифотонного поля СПР. Амплитуда бифотона.

5. Числа фотонов в сигнальных и холостых модах, корреляционная функция СПР

 

15.05.2023 Лекция 13

6. Различные варианты модового состава накачки СПР

            6.1  Простейший случай одномодовой (плоской монохроматической) волны накачки

            6.2 волновая функция в случае монохроматической волны накачки с гауссовским профилем 

6.3 волновая функция в случае импульсной широкополосной накачки

6.4 распределения условной и безусловной вероятности обнаружения фотона в одном из каналов

7. Перепутывание сигнальных и холостых фотонов

            7.1 Моды Шмидта

            7.2 Степень перепутывания фотонов в выходном излучении СПР. Параметр Шмидта.

            7.3 Параметр Федорова для экспериментальной оценки степени перепутывания фотонов в выходном излучении СПР

8. Применение СПР в квантовой сенсорике и абсолютной безэталонной фотометрии