План лекций по курсу «Квантовая оптика»

на осенний семестр 2016 года

Основные понятия статистической и квантовой оптики

Квантование электромагнитного поля

Основные типы состояний поля

Энергетические состояния

Когерентные состояния

Собственные состояния операторов обобщенной координаты и импульса

Смешанные состояния

Статистика фотонов и фотоэлектронов

Закон Кирхгофа для теплового излучения

2.09.2016 г.   Лекция 1

1. Введение

          1.1 Предмет квантовой оптики

          1.2 История и предыстория

          1.3 Особенности данного курса

9.09.2016 г.   Лекция 2

2. Основные понятия статистической оптики

          2.1 Представление поля в виде совокупности случайных величин

          2.2 Аналитический сигнал

          2.3 Квазимонохроматический сигнал

          2.4 Глауберовские корреляционные функции

          2.5 Примеры характеристик случайного поля: 

                    - интенсивность

                    - моменты интенсивности

                    - функция взаимной когерентности

                    - взаимная спектральная плотность

                    - автокорреляционная функция

                    - спектральная плотность

          2.6 Особенности усреднения:

                    - эргодичность

                    - нормальное упорядочение

                    - усреднение в случае стац. поля

3. Варианты статистики случайных полей

          3.1 Тепловое поле с гауссовой статистикой

          3.2 Излучение стабилизированного одномодового лазера

4. Корреляционные функции первого порядка

          4.1 Выражение кор. функций высших порядков через КФ-1 для     теплового излучения

          4.2 КФ-1 как характеристика степени когерентности излучения. Длина           продольной и радиус поперечной когерентности поля

          4.3 Измерение временной когерентности

                с помощью интерферометра Майкельсона

          4.4 Измерение пространственной когерентности

                с помощью интерферометра Юнга

5. Фактор вырождения

5.1.         Объем когерентности V_ког

5.2.         Фактор вырождения

5.3.         Число фотонов в моде и в объеме когерентности

6. О статистике одномодовых и многомодовых полей

6.1  Одномодовый характер поля в пределах V_ког

6.2  Чем отличаются одномодовое тепловое излучение, взаимно-когерентное в пределах  V_ког, и когерентное излучение

6.3  Статистика многомодового поля в пределах объемов V>>V_ког

                   Объем V_дет и число мод детектирования

7.     Теорема Ван Циттерта – Цернике

16.09.2016 г. Лекция 3

8. Статистика фотоотсчетов «точечного» детектора

          8.1     Измерение статистики фотоосчетов ФЭУ; счетный и аналоговый режим

                   ФЭУ

8.2     «Точечный» детектор и одномодовый характер детектирования

           8.3      Скорость счета фотонов в зависимости от интенсивности излучения,

           квантовой эффективности ФЭУ и объема детектирования

8.4             Пуассоновское распределение числа фотоотсчетов при фиксированной

           интенсивности света

          8.5       Полуклассическая формула Манделя

          8.6       Связь функции распределения фотоотсчетов P(m) и

           моментов интенсивности  излучения

          8.7       Связь моментов фотоотсчетов и моментов интенсивности излучения

          8.8       Факториальные моменты и производящая функция

          8.9       Связь дисперсии фотоотсчетов и интенсивности излучения;

           группировка фотоотсчетов благодаря вкладу флуктуаций классического

            света

9. Статистика фотоотсчетов многомодового детектора

9.1           Формула Манделя

9.2  Относительные флуктуации числа фотоотсчетов при детектировании

            одномодового и многомодового теплового излучения

23.09.2016 г. Лекция 4 и Лекция 5

10. Измерение корреляционных функций второго порядка

10.1       Примеры корреляционных функций второго порядка.

10.2       Формула Зигерта для теплового поля

10.3       Измерение временной автокорреляционной функции

10.4       Измерение пространственной когерентности второго порядка

с помощью интерферометра Брауна-Твисса:

-        схема интерферометра

-        связь корреляционных моментов фототоков <i₁i₂> ,

 фотоотсчетов <m₁m₂> и  интенсивностей света <I₁I₂> в двух каналах интерферометра при одномодовом и многомодовом детектировании

-  измерение пространственной зависимости g⁽²⁾₁₂(r) для теплового света

-        историческая роль экспериментов Брауна-Твисса – от измерения угловых размеров звезд с улучшенным разрешением до ...

-        до квантовой оптики: измерение g⁽²⁾₁₂(0) – ключ к определению статистики излучения

11. Флуктуации интенсивности в различных каналах интерферометра Брауна-Твисса

11.1.     Связь момента интенсивности входного излучения второго порядка g⁽²⁾ =<I²>/<I>² и флуктуаций интенсивности света  в выходных каналах

11.2.     Связь дисперсий интенсивности на входе и выходе 

11.3.     Пример теплового излучения: g⁽²⁾₁₂=2, группировка фотонов и корреляция флуктуаций интенсивностей в выходных каналах интерферометра

11.4.     Пример когерентного излучения: g⁽²⁾₁₂=1, отсутствие группировки фотонов и отсутствие корреляции флуктуаций интенсивностей в выходных каналах интерферометра

11.5.     Переход на квантовый язык в случаях теплового и когерентного излучения:

те же результаты

11.6.     Пример неклассического света – излучение с заданным числом фотонов N

11.7.     Входной свет с произвольной статистикой в общем случае: g⁽²⁾₁₂=<:N²:>/<N>

Квантование электромагнитного поля

1.     Общий подход к квантованию электромагнитного поля в релятивистской и нерелятивистской теории

               1.1     Канонические переменные. Время

               1.2     Функции Гамильтона и Лагранжа

               1.3     Уравнения, описывающие динамику канонических переменных в механике

               1.4     Скобки Пуассона и динамика произвольных функций от канонических переменных    

2. Схема квантования электромагнитного поля в рамках Гамильтонова формализма.

2.1           Определение канонических переменных для описания поля:

-        переход к дискретным полевым переменным через разложение в ряд по системе собственных функций соответствующей краевой задачи

-        выбор линейной комбинации амплитуд, оптимальный с точки зрения регистрации

2.2           Переход от канонических переменных и их функций к операторам.

Определение коммутационных соотношений через скобки Пуассона

2.3           *Вторичное квантование

3.     Разложение поля в свободном пространстве в спектр пространственных гармоник Фурье

               3.1     Определение объема «ящика» квантования

               3.2     Замена пространственного распределения реального поля на распределение, периодически повторяющее  рельеф в интересующей области

               3.3     Представление поля в виде спектра пространственных гармоник. Связь амплитуд встречных мод

               3.4     Введение системы ортов для определения поляризации каждой моды

               3.5     Продольная и поперечная составляющие моды

4.     Уравнения Максвелла в (k,t) представлении

               4.1     Для продольной и поперечной составляющих полного поля.

Поперечность поля в вакууме.

               4.2     Для отдельных мод

-        система уравнений для E_k и H_k

-        координаты векторов E_k и H_k в системе ортов прямых и встречных волн

-        уравнение осцилляторного типа для E_k

5. Выбор канонических переменных для поля

               5.1     Проблема разделения прямых и встречных мод. Общий индекс моды

               5.2     Связь мнимых и действительных частей электрической и магнитной составляющих прямых и встречных мод

               5.3     Введение обобщенной координаты и обобщенного импульса

для излучения одной моды

               5.4     Введение комплексной переменной a_k

               5.5     Выражение электрического и магнитного поля моды через a_k

6. Представление аналитического сигнала E⁽⁺⁾(r,t) через a_k

                   6.1 Динамика a_k (t)

                   6.2 Связь спектров a_k и j_k

                   6.3 Связь аналитического сигнала с функциями a_k (t), отрицательно-частотной части поля - с функциями a_k *(t)

7. Гамильтониан поля в прозрачной среде

7.1.          Гамильтониан поперечной части свободного поля

7.2.         с учетом показателя преломления и анизотропии среды

7.3.         с учетом дисперсии

30.09.2016 г. Лекция 6

8. Гамильтониан поля и системы зарядов

8.1. Общее выражение

8.2. Связь канонического и «кинетического» импульсов заряженной частицы в поле

8.3. Гамильтониан взаимодействия бесспиновых частиц с полем

8.4. Вывод уравнения Ньютона для частицы путем дифференцирования гамильтониана по соответствующим каноническим переменным 

8.5. Гамильтониан возмущения поперечного поля нерелятивистскими частицами

8.6. Вывод уравнений Максвелла для поля путем дифференцирования гамильтониана по соответствующим каноническим переменным

9.      Приближенные выражения для описания поля и системы зарядов

9.1. Пренебрежение силой Лоренца для нерелятивистских частиц

9.2. Дипольное приближение

-        Гамильтониан возмущения частиц полем

-        Гамильтониан возмущения поля частицами

9.3. Оценка условий применимости приближений

10. Переход к квантовому описанию:

- замена канонических переменных и их функций операторами

- постулирование статистического характера результатов измерения

- введение функции состояния системы для описания статистики результатов измерения

11. Задание операторов

11.1.     определение коммутационных соотношений через скобки Пуассона

11.2.     симметризация

11.3.     перестановочные соотношения

11.4.     нормально- и антинормально-упорядоченные операторы

11.5.     представления Шредингера и Гейзенберга

11.6.     операторы, определяющие спектральную яркость и факториальные моменты одномодового излучения

11.7.     связь факториальных и обычных моментов

7.10.2016 г. Лекция 7

12.  Состояния квантовой системы в обозначениях Дирака

12.1                 состояние системы как вектор абстрактного векторного пространства

12.2                 разложение вектора состояния по различным базисным системам координат;

представления волновой функции

12.3                 «бра» и «кэт» векторы, норма вектора

12.4                 свойства базисов

-        полнота

-        ортонормированность

 13. Операторы в обозначениях Дирака

13.1        определение действия на правые и левые вектора

13.2        тензор-диада

13.3        разложение операторов по диадам полного базиса

13.4        оператор проектирования одного состояния на другое

13.5        собственные вектора и собственные значения операторов

13.6        эрмитово сопряженные операторы

13.7        определение эрмитова оператора

14. Распределение вероятности наблюдения физической величины в системе с заданным состоянием

-        через оператор проектирования

-        через оператор плотности

-        средние значения наблюдаемых величин

Основные типы состояний поля

Энергетические состояния

1.      Состояния с заданным числом фотонов (энергетические)

1.1.         Определение: собственные состояния оператора энергии для одной моды свободного поля и оператора числа фотонов в моде N=a⁺a

1.2.         Собственные значения N всегда целые и неотрицательные (вывод)

1.3.         Вакуумное состояние

1.4.         Действие операторов a и a⁺ на N-состояния

1.5.         Оператор, описывающий получение N-состояний из вакуума

14.10.2016 г. Лекция 8

1.6     Временная эволюция энергетических состояний

2.    Разложение произвольных состояний поля по энергетическому базису

2.1.         Разложение состояний одномодового поля по энергетическому базису

2.2.         Разложение произвольных состояний многомодового поля

3.    Энергетические состояния на практике. Проблема получения состояний с заданным числом фотонов.

Когерентные состояния

1.      Когерентные состояния

1.1.         Определение: правые и левые собственные состояния операторов а и a⁺ для одной моды поля

1.2.         Собственные значения: комплексны, образуют непрерывный спектр

1.3.         Среднее число фотонов в энергетическом состоянии

1.4.         Средние от нормально упорядоченных операторов в когерентном состоянии

1.5.         Факторизация нормально-упорядоченных моментов числа фотонов

2.  Многомодовое поле в когерентном состоянии

2.1. Собственные состояния оператора аналитического сигнала

2.2. Средние значения для оператора напряженности электрического поля

2.3. Факторизация корреляционных функций

3.      Получение когерентных состояний из вакуума

3.1.         определение оператора сдвига

3.2.         D^-1(z) a D(z) = a+z – достаточное условие

3.3.         Общий вид оператора сдвига D(z)=e ^{z a+-z*a} (доказательство)

21.10.2016 г. Лекция 9

4.      Связь когерентного и энергетического базисов

4.1.         Представление когерентных состояний в энергетическом базисе и наоборот

4.2.         Распределение числа фотонов в когерентном состоянии

5.     Cвойства базиса, образуемого когерентными состояниями

5.1. нормировка

5.2. неортогональность

5.3. доказательство полноты

5.4. следствия «переполненности» базиса

Собственные состояния операторов обобщенной координаты и импульса

1. Операторы обобщенной координаты и импульса и их собственные состояния

1.1.         Связь с действительной и мнимой частью аналитического сигнала одномодового излучения

1.2.         Собственные значения и собственные состояния

1.3.         Свойства координатного и импульсного базисов:

- полнота

- непрерывность

- ортогональность

- нормировка

1.4.         Представление состояния с заданным импульсом  в координатном базисе и представление состояния с заданной обобщенной координатой  в импульсном базисе

1.5.         Схематическое представление на диаграмме состояний

2.      Связь координатного и импульсного базисов с когерентным

2.1.         Средние значения обобщенной координаты и импульса в когерентном состоянии

2.2.         Волновые функции когерентных состояний в координатном и импульсном базисах

2.3.         Распределение координаты и импульса в когерентном состоянии

2.4.         Дисперсии обобщенной  координаты и импульса в когерентном состоянии. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

2.5.         Схематическое изображение когерентных и энергетических состояний на диаграмме состояний

2.6.         Временная эволюция когерентных состояний

28.10.2016 г. Лекция 10

3.     Соотношение дисперсий координаты и импульса в произвольном состоянии одномодового поля.

3.1           Эволюция дисперсий во времени

3.2           Понятие сжатого света

4.     Связь координатного и импульсного базисов с энергетическим

4.1.         Дисперсии координаты и импульса в энергетическом состоянии

4.2.         Координатное представление энергетических состояний

Смешанные состояния

1.     Смешанные состояния

1.1.         Определение чистого и смешанного состояний

1.2.         Задание функции распределения и средних значений наблюдаемых величин через оператор плотности в случае

- чистого состояния;

- смешанного состояния.

2.11.2016 г. Лекция 11

2.      Оператор плотности

2.1.         Разложение по когерентному и энергетическому базису – Р-представление и матрица плотности

2.2.         Эрмитовость и связанные с этим свойства Р-представления и матрицы плотности

2.3.         Нормировка

2.4.         Выражения для средних значений наблюдаемых величин через матрицу плотности и в Р-представлении

3.      Смешанное состояние многомодового поля

3.1.         Квазивероятность и матрица плотности

3.2.         Корреляционные моменты

3.3.         Случай статистически независимых мод

4.     Стационарные смешанные состояния

4.1.         диагональность матрицы плотности

4.2.         особенности Р-представления

4.3.         характер зависимости корреляционных моментов от времени

4.4.         понятие населенности моды

4.5.         спектральная яркость стационарного состояния с независимыми модами

5.      Излучение с планковским распределением фотонов в моде

5.1.         равновесное тепловое излучение

5.2.         излучение, хаотически возбуждаемое независимыми источниками

5.3.         неопределенность обобщенной координаты и импульса

5.4.         многомодовое хаотическое поле

6.     Другие примеры смешанных состояний одномодового поля

6.1.         смесь когерентных состояний с одинаковыми амплитудами и случайными фазами

6.2.         k-фотонное смешанное состояние

11.11.2016 г. Лекция 12

7.     Представление Глаубера-Сударшана и его свойства

7.1.         отличие квазивероятности от классической вероятности

7.2.         связь вероятностей наблюдения физической величины в смешанном и когерентных состояниях

7.3.         вычисление средних от нормально-упорядоченных операторов

- вычисление факториальных моментов числа фотонов

7.4.         нормальная характеристическая функция

-        общее определение

-        в случае теплового поля

-        для смеси независимых полей

7.5.         сглаживающие процедуры

-        преобразование характеристической функции при смешивании поля с тепловым излучением

-        симметризованная характеристическая функция –

Фурье-образ функции Вигнера

-        антинормальная  характеристическая функция

8.     Признаки неклассичности световых полей

8.1.         Мера Ли

8.2.         Операциональное определение

8.3.         Сжатие квадратур

Статистика фотонов и фотоэлектронов

1. Квантовая теория детектирования

1.1  показания однофотонного детектора

     1.2 корпускулярно-волновой дуализм и роль однофотонных состояний света

     1.3 корреляция показаний М детекторов, расположенных в разных точках пространства – аналогия с одновременной ионизацией М атомов

     1.4 необходимость введения нормально и анти-нормально упорядоченных операторов

18.11.2016 г. Лекция 13

 2.      Статистика фотонов: общие соотношения

1.1.         производящая функция

1.2.         вычисление нормальных моментов и распределения числа фотонов по известной производящей функции

1.3.         z-представление распределения числа фотонов

1.4.         выражение для распределения числа фотонов через нормальные моменты числа фотонов

1.5.         Производящие функции, нормальные моменты, распределение числа фотонов в случаях

- одномодового хаотического поля

            - многомодового хаотического поля

           - когерентного поля

           - смешанного k-фотонного состояния одномодового поля

           -  излучения смешанного k-фотонного света ансамблем атомов

1.6           таблица: основные типы распределений числа фотонов и энергии одномодового и многомодового поля в квантовой и классической теории 

25.11.2016 г. Лекция 14

3.      Группировка и антигруппировка фотонов

3.1.         флуктуации числа фотонов (энергии) в моде когерентного  излучения при классическом и квантовом рассмотрении; роль когерентного  излучения при классификации полей по шумовым характеристикам

3.2.         нормированный второй факториальный момент g⁽²⁾ как параметр группировки

3.3.         зависимость параметра группировки g⁽²⁾ от среднего числа фотонов для когерентного, теплового и смешанного k-фотонного света

3.4.         примеры практического использования состояний света с группировкой и антигруппировкой фотонов

4.      Измерение параметра группировки с помощью интерферометра Брауна-Твисса

4.1.         измерение g⁽²⁾ с помощью двух детекторов в схеме Брауна-Твисса

4.2.         измерение сверхгруппировки фотонов в двух различных модах излучения при параметрическом рассеянии света

5.      Статистика фотоотсчетов одномодового детектора

5.1.         точечный детектор поля в квантовом рассмотрении

5.2.         распределение фотоотсчетов при регистрации поля в энергетическом состоянии

5.3.         статистика фотоотсчетов при регистрации поля с произвольной статистикой фотонов

5.4.         формула Скалли-Манделя

5.5.         статистика фотоотсчетов при регистрации света с пуассоновской и тепловой статистикой

5.6.         связь факториальных моментов числа фотонов и числа фотоотсчетов в общем случае

5.7.         дисперсия числа фотоотсчетов в зависимости от дисперсии числа фотонов

5.8.         параметры группировки фотонов и фотоотсчетов

6.      Статистика фотоотсчетов многомодового детектора

6.1            производящая функция

6.2            дисперсия числа фотоотсчетов

2.12.2016 г. Лекция 15

Закон Кирхгофа для теплового излучения

1.      Закон Кирхгофа для среднего числа фотонов в моде

1.1.         плотность продольных и поперечных мод волновода

1.2.         связь энергетических характеристик излучения со средним числом фотонов в моде  

1.3.         кинетическое уравнение для среднего числа фотонов в моде        

1.4.         закон Кирхгофа для одной моды: связь тепловых шумов и поглощения

2.      Закон Кирхгофа для шумов квантового усилителя

2.1.         отрицательная эффективная температура при инверсной населенности среды

2.2.         зависимость от эффективной температуры

-  населенностей двухуровневой системы 

-        термодинамического параметра

2.3.         закон Кирхгофа в случае отрицательной температуры

          - выражение через коэффициент усиления

          - выражение через коэффициент поглощения при Т=+0

2.4.         отношение «сигнал/шум»  на входе и выходе квантового усилителя

          - при Т=-0 (только квантовые шумы)

          - при наличии тепловых шумов

3.      Зависимость шума от толщины активного слоя 

3.1             изменение мощности шумового сигнала

3.2     изменение спектра шумов при увеличении толщины активного слоя

          - при Т>0

- при Т<0