Задачи и их решения

1. (1) В горах Кавказа астроном наблюдает Марс в большой телескоп. На объектив сел горный орел, перекрывший расправленными крыльями ровно половину объектива. Как изменится наблюдаемая астрономом картина?

Решение. Телескоп собирает лучи, пришедшие издалека (практически из бесконечности). Поэтому уменьшение поля зрения объектива повлияет только на его светосилу, т.е. приведет к уменьшению яркости и контрастности наблюдаемого изображения.

2. (3) Придумать конструкцию оптического диода - устройства, пропускающего свет только в одном направлении. Свет поляризован.

Решение. Достаточно поставить в пучок любой элемент, поворачивающий поляризацию на 90 градусов (например, полуволновую пластинку или ячейку Фарадея), а затем – поляризатор, пропускающий исходную поляризацию.

3. (5) Пучок света от лампы накаливания падает на полупрозрачное зеркало и разбивается на два пучка. Можно ли восстановить исходный пучок. Если нет - почему? Если да - то как? (Считать потери на поглощение пренебрежимо малыми).

Решение. В рамках классической физики это в принципе возможно, для этого необходимо свести вместе на другой такой же полупрозрачной пластинке полученные пучки с той же разностью фаз, которая была между ними в момент деления пучка. Однако это крайне сложно, если учесть, что длина когерентности (т.е. длина, на которой фаза пучка меняется случайным образом) света от лампы накаливания немногим больше длины волны. А в рамках квантовой физики это принципиально невозможно, так как для полного описания разбиения пучка на два необходимо учитывать квантовую неопределенность деления пучка: выбор одного из двух возможных путей отдельным фотоном непредсказуем.
Примечание: 5 баллов дается при наличии обеих частей рассуждения.

4. (3) Если смотреть на себя в зеркало, то правая и левая рука меняются местами, верх и низ - нет. Почему?

Решение. Вариант 1. При отражении в зеркале правая система координат меняется на левую. Изменение правой и левой сторон - это уже субъективное следствие, связанное с тем, что человек определяет понятия право и лево относительно вектора, заданного направлением своего взгляда.
Вариант 2. Глядя на себя в зеркало и пытаясь сообразить, где у отражения правая рука, а где левая, человек мысленно заходит за зеркало. При этом он мысленно поворачивается вокруг вертикальной оси (мы так ходим). Так что преобразование зеркального отражения он заменяет другим преобразованием - поворотом вокруг вертикальной оси. При этом изображение получается таким же, но правое переходит в левое и наоборот. Если бы поворот был вокруг вертикальной оси, менялись бы именно верх и низ.

5. (3) Задняя поверхность выпукло-вогнутой линзы посеребрена. При каком показателе преломления линза работает как плоское зеркало, если свет падает на нее справа? Радиусы кривизны и .

Решение.

Будем использовать приближение тонкой линзы, т.е. считать расстояние, проходимое лучом внутри линзы, пренебрежимо малым. Если луч падает на линзу горизонтально, то угол его падения на первую поверхность линзы зависит от его прицельного параметра d: . После прохождения первой поверхности в результате преломления он будет идти под углом к оси линзы, где . Для того, чтобы, отразившись от второй поверхности линзы, луч вернулся по тому же пути, необходимо, чтобы показатель преломления был равен 2. Отметим, что такая конструкция работает как зеркало только для лучей, падающих под малыми углами к оси линзы.

6. (3) На севере Тихого океана произошло извержение вулкана, вызвавшего появление волны цунами. Такая волна - солитон, высота и ширина которого жестко связаны соотношением , где - глубина океана. Скорость цунами при этом практически постоянна . На Гонолулу, который находится на расстоянии 3500 км от эпицентра, пришла волна высотой 16 м. Определить высоту цунами, дошедшей до побережья Чили, расстояние от которого до эпицентра 14000 км, в предположении, что глубина Тихого океана постоянна.

Решение. В предположении слабого затухания энергию волны можно считать постоянной. Она определяется кинетической энергией единицы длины фронта волны, умноженной на ее длину, т.е. . Отсюда получаем, что высота цунами около побережья Чили составит примерно один метр. Описанное в задаче цунами наблюдалось в 1946 году - высота волны около побережья Чили составила 1.6 м (то, что получившееся значение оказалось меньше реального, по-видимому, связано с наличием рельефа дна).

7. (5) Известно, что если идти по лесу, то звук электрички слышен со значительно большего расстояния, если с соответствующей стороны дует ветер, даже небольшой. Почему?

Решение. Полная скорость распространения звука определяется суммой скорости звука и скорости ветра. Казалось бы, скорость звука на полтора порядка меньше скорости звука, и не должна оказывать существенного влияния. Однако необходимо учесть, что скорость ветра всегда уменьшается при приближении к земле. В результате волновой фронт звука оказывается изогнут. Если звук распространяется в направлении ветра, то скорость звука увеличивается с высотой, и направление распространения звуковой волны загибается к земле. В обратном случае распространения звука навстречу ветру скорость звука с высотой уменьшается, в результате направление распространения звука загибается вверх, а около земли возникает звуковая тень (см.рис). Подробнее – см. книгу Р.Тейлора «Шум»

8. (1) Почему циркулярно поляризованный свет при отражении от зеркала (по нормали) меняет направление поляризации, а линейно поляризованный свет плоскость поляризации не меняет?

Решение. Вариант 1. Поляризацию света можно наглядно изобразить, показав положения вектора напряженности электрического поля в различные моменты времени. Для линейно поляризованного света это будет синусоида, плоскость которой определяет плоскость поляризации, а для циркулярно поляризованного – спираль, причем левая и правая поляризация различаются по направлению вращения спирали. Зеркало строит изображение, соответственно, синусоиды и спирали, причем плоскость синусоиды перпендикулярна зеркалу и поэтому не меняется, а направление вращения спирали меняется на противоположное.
Вариант 2. Направление вращения в случае циркулярной поляризации определяется тем, правую или левую тройку векторов образуют волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Однако так как при отражении волновой вектор и вектор напряженности электрического поля меняют знак, а псевдовектор магнитного поля – нет, то направление вращения циркулярной поляризации меняется на обратное.

9. (3) Обычно радугу можно увидеть, если повернуться спиной к Солнцу. Однако радугу также можно увидеть на снегу, однако в этом случае надо стоять к Солнцу лицом. Откуда возникает такая разница?

Решение. Обычная радуга возникает в результате отражения и двукратного преломления солнечного света в капельках воды. При этом солнечный луч только один раз отражается в капле воды, и после этого свет возвращается примерно назад (в принципе иногда можно видеть вторую радугу, соответствующую двойному отражению луча внутри капли). Поэтому такая радуга видна со стороны, противоположной Солнцу. А радуга на снегу – результат брэгговской дифракции на снежинках (каждая из которых является кристаллом), аналогичной дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Такая радуга соответствует одному из первых порядков дифракции, поэтому ее можно наблюдать с направления, близкого к направлению отраженного от земли солнечного луча, то есть – лицом к Солнцу.

10. (1) В своей книге «Ангелы и демоны» Дэн Браун, не знающий физики, руками своего главного героя «спасает» Ватикан, поднимая четверть грамма антивещества на высоту 3 км над городом. Оценить дозу, полученную каждым жителем Рима в результате аннигиляции этого антивещества. (Для жесткого гамма-излучения радиационный фон величиной 1 рентген в секунду примерно соответствует интенсивности потока энергии .)

Решение. В результате аннигиляции четверти грамма антивещества возникает гамма-квантов с частотой , где - масса протона. На расстоянии 3 км плотность потока энергии гамма-квантов оказывается равной , что соответствует дозе в рентген, что на пять порядков превышает смертельную дозу.