Олимпиада-2004

Задачи и их решения

1. Элемент Пельтье – полупроводниковое устройство, у которого при пропускании тока одна сторона охлаждается, другая – нагревается. Обычно, если надо что-то охладить (например, исследуемый образец), его плотно прижимают к «холодной» стороне элемента Пельтье, а «горячую» сторону охлаждают водой.

а) (1) Что будет с образцом, если воду выключить?

б) (3) Почему, если два элемента Пельтье включаются «каскадом», т.е. первый элемент охлаждает образец, а второй элемент охлаждает первый, то первый элемент должен быть меньше по площади?

Решение.

а) Вода нужна, чтобы отводить выделяющееся тепло. Если ее выключить, сильно уменьшается обмен теплом с окружающей средой – элемент Пельтье вместе с образцом становится почти замкнутой системой, если нет электрического тока. При включении тока в систему подается энергия извне, поэтому общий баланс энергии приведет к нагреванию как горячей, так и холодной стороны элемента (горячая сторона, разумеется, нагреется больше), а следовательно, образец нагреется.

б) Первому элементу нужно отводить тепло от образца, а второму – от первого. Но кроме того, второй элемент Пельтье должен компенсировать выделение омического тепла в первом элементе. Поэтому он должен быть больше.

2*. (3) Имеется некий объект. Это шайба из оптических волокон, в чем легко убедиться, если посмотреть, как она передает изображение. Почему при разглядывании через нее удаленных предметов видны кольца? Определить размер волокна при помощи лазерной указки.

Решение.

Кольца видны, если пучок падает под углом к волокнам. Внутри волокон пучок испытывает полное внутреннее отражение. Соответственно, он выходит под тем же углом к оси волокон, что и падает. Кольцо получается из-за того, что диаметр каждого волокна много меньше диаметра пучка, и свет при входе попадает на разные точки в волокне.

Чтобы определить размер волокна, нужно направить пучок строго параллельно волокнам. При этом колец не будет, но пучок на выходе будет сильно расходящимся из-за дифракции. По его угловому размеру можно определить размер волокна: , где мкм - длина волны, откуда мкм.

3*. (3) У Вас две стекляшки. Первая, квадратная, кажется зеленой и на просвет, и в отраженном свете. Вторая, круглая, в отраженном свете зеленая, а на просвет – розовая. Чем они отличаются?

Решение.

Первая стекляшка является поглощающим светофильтром и поглощает большую часть видимого света, пропуская (и отражая) только зеленый свет. Кстати, если приглядеться, то отражений два – от первой поверхности и от второй. Отражение от первой поверхности окрашено очень слабо, а отражение от второй – сильно, так как соответствующие лучи дважды проходит через стекло. Вторая стекляшка - непоглощающее пленочное зеркало с покрытием, эффективно отражающим зеленый свет и пропускающим все остальные длины волн. Соответственно, прошедший свет - весь видимый спектр без зеленой области - выглядит розовым.

4. (4) На высоте км от поверхности Земли летит спутник-шпион. Диаметр его объектива равен см. Оценить минимальный размер детали, которую он может рассмотреть.

Решение.

Решение задачи аналогично решению задачи 2. Дифракционный параметр Френеля такого объектива имеет величину . Соответственно, объектив может различить детали величиной см.

5. (5) Считается, что викинги, пользуясь куском исландского шпата, умели в пасмурную погоду определить направление на Солнце. Как они это делали?

Решение.

Исландский шпат - двулучепреломляющий кристалл, разделяющий свет по поляризации. Через кусок шпата детали облачного неба будут видны «двойными», причем если свет поляризован, то интенсивности изображений будут изменяться при вращении куска шпата. При прохождении через облака неполяризованный солнечный свет, рассеиваясь на (или отражаясь в) капельках воды, размер которых обычно больше длины световой волны, будет становиться частично поляризованным. Поэтому направление «точно на Солнце» будет соответствовать наименее поляризованному свету, и при вращении куска шпата интенсивность каждого изображения будет меняться менее всего..

6. (2) В кристалле длиной одновременно рождаются пары фотонов, причем один из фотонов пары всегда одного типа (А), а второй - другого (Б). Их скорости распространения в кристалле совпадают по направлению, но различаются по величине: они равны, соответственно, и . После кристалла специальный светоделитель распределяет фотоны: типа А - в детектор А, типа Б - в детектор Б. Детекторы “щелкают” почти одновременно, но не совсем, т.к. из-за различия скоростей один из фотонов всегда регистрируется позже. Экспериментатор регистрирует временное распределение “щелчков” детекторов и строит график: количество двойных “щелчков” в зависимости от интервала времени между ними. Какую зависимость он получит?

Решение.

Одновременно придут на детекторы лишь фотоны, родившиеся на выходной грани кристалла. В случае, если пара родилась на расстоянии от выходной грани, фотон Б «отстанет» на время . Поэтому распределение будет иметь «прямоугольный» вид , , и в других случаях (для определенности мы полагаем, что фотоны Б «медленнее».

7. (1) Есть два вектора единичной длины в трехмерном евклидовом пространстве. Придумайте “меру близости” этих векторов так, чтобы , если вектора сонаправлены, и , если они ортогональны.

Решение.

Простейшим вариантом решения является .

8. (3) Возможно ли при помощи трех поляризаторов получить из лазерного пучка света вертикальной поляризации с интенсивностью мВт пучок света горизонтальной поляризации с интенсивностью мВт?

Решение.

При прохождении линейно поляризованного света через поляроид, поставленный под углом , интенсивность прошедшего света определяется законом Малюса . Наиболее эффективное преобразование интенсивности тремя поляроидами будет, если каждый из них повернут под одним и тем же углом к предыдущему. Отсюда получаем, что интенсивность горизонтальной поляризации после трех поляроидов мВт, т.е. условия задачи выполнить невозможно.

9. (3) Как известно, эволюция волнового фронта описывается принципом Гюйгенса-Френеля - его положение в следующий момент времени определяется огибающей волн, испущенных вторичными источниками волн во всех точках этого волнового фронта. Эта огибающая есть как спереди, так и сзади. Однако волна распространяется только вперед. Почему?

Решение.

В принципе Гюйгенса неявно предполагается, что вторичные волновые фронты будут конструктивно интерферировать не только друг с другом, но и с первоначальной волной и со всеми вторичными волнами, испущенными во все предыдущие моменты времени. Это условие выполняется только для волны, распространяющейся вперед. Для волны, возвращающейся назад, эта интерференция сугубо деструктивна.

10. (3) Как всем известно, наследование признаков описывается законами Менделя. Будем рассматривать наследование некоего признака (например - цвета глаз) в очень большой популяции животных (например - людей). Тогда карий цвет глаз будет доминантным, а голубой - рецессивным. Пусть в начальный момент времени в популяции -я часть - голубоглазые люди, имеющие два рецессивных аллеля голубых глаз, а -я часть - кареглазые люди, имеющие два доминантных аллеля карих глаз. Определить долю голубоглазых людей в популяции через очень большое число поколений.

Решение.

Обозначим кареглазый доминантный аллель буквой , а голубоглазый рецессивный - буквой . Обозначим буквами , и доли особей , имеющих в -ом поколении набор генов , и , соответственно. Доля голубоглазых людей, очевидно, определяется величиной . Тогда доли особей в -ом поколении можно найти при помощи следующих соотношений:

Используя полученные соотношения, находим, что после первого скрещивания , , . Легко проверить, что при дальнейших скрещиваниях это соотношение не будет изменяться, то есть . Эта закономерность в генетике носит название закона Пирсона-Харди.

* Элементы описанных в задачах экспериментальных схем находятся у организаторов олимпиады, при желании их можно подержать в руках для лучшего понимания физики ситуаций. Просьба рабочие (блестящие) поверхности оптических элементов пальцами не трогать.